Teorema de Taylor
Teorema (Taylor com resto de Lagrange). Seja $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ com $f^{(n)}$ contínua em $[a,b]$ e $f^{(n+1)}$ existente em $(a,b)$. Então para todo $x\in[a,b]$ existe $c$ entre $a$ e $x$ tal que:
$$f(x) = \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}.$$
Demonstração. Defina $R_n(x)=f(x)-P_n(x)$ e escolha $M$ tal que $R_n(x)=M(x-a)^{n+1}$. Defina $g(t)=f(t)-P_n(t)-M(t-a)^{n+1}$. Então $g(a)=0$ (pois $f(a)=P_n(a)$) e $g(x)=0$. Pelo Teorema de Rolle, existe $c_1$ entre $a$ e $x$ com $g'(c_1)=0$.
Observando que $g'(a)=0, g## ''(a)=0,\ldots,g^{(n)}(a)=0$ (pois $P_n$ coincide com $f$ até a ordem $n$ em $a$), aplicamos Rolle repetidamente: existe $c_2$ entre $a$ e $c_1$ com $g''(c_2)=0$, e assim por diante. No passo final, existe $c=c_{n+1}$ entre $a$ e $c_n$ com:
$$0 = g^{(n+1)}(c) = f^{(n+1)}(c) - M(n+1)!,$$
logo $M = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}$. $\blacksquare$