Aplicações do Teorema de Taylor
Exemplo 5. Estimativa de $e = e^1$. Usando Taylor de $e^x$ em $a=0$ com $n=4$:
$$e \approx 1 + 1 + \frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24} = \frac{65}{24}\approx 2{,}7083.$$
Erro: $|R_4(1)| = \frac{e^c}{120}$ para algum $c\in(0,1)$. Como $e^c < 3$, temos $|R_4| < 3/120 = 0{,}025$.
Exemplo 6. Taylor de $\sin x$ com $n = 5$:
$$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + R_5(x), \quad |R_5(x)| \leq \frac{|x|^6}{720}.$$
Para $x = 0{,}1$: $\sin(0{,}1) \approx 0{,}1 - 0{,}000167 + 0{,}0000000083 \approx 0{,}09983$.