Funções convexas
Definição. $f:I\to\mathbb{R}$ é convexa se para todos $x,y\in I$ e $t\in[0,1]$:
$$f(tx+(1-t)y) \leq tf(x)+(1-t)f(y).$$
Teorema. Se $f$ é duas vezes diferenciável em $I$, então $f$ é convexa se e somente se $f''(x)\geq 0$ para todo $x\in I$.
Demonstração ($\Leftarrow$). Para $x,y\in I$ e $z=tx+(1-t)y$, pelo Teorema de Taylor com $n=1$ centrado em $z$:
$$f(x)=f(z)+f'(z)(x-z)+\frac{f''(c_1)}{2}(x-z)^2\geq f(z)+f'(z)(x-z)$$
e analogamente $f(y)\geq f(z)+f'(z)(y-z)$. Multiplicando a primeira por $t$ e a segunda por $(1-t)$ e somando:
$$tf(x)+(1-t)f(y)\geq f(z)+f'(z)[t(x-z)+(1-t)(y-z)] = f(z). \quad\blacksquare$$
Exemplo 7. $f(x) = x^2$ tem $f''(x)=2>0$, logo é convexa. $f(x)=e^x$ tem $f''(x)=e^x>0$, convexa.