Teorema binomial (derivadas)
Para $\alpha\in\mathbb{R}$ e $|x|<1$, define-se $(1+x)^\alpha$ e sua expansão de Taylor em $a=0$. A derivada de ordem $k$ de $(1+x)^\alpha$ em $x=0$ é:
$$f^{(k)}(0) = \alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1).$$
Portanto o polinômio de Taylor (série binomial) é:
$$(1+x)^\alpha = \sum_{k=0}^{n}\binom{\alpha}{k}x^k + R_n(x),$$
onde $\binom{\alpha}{k}=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)}{k!}$.
Exemplo 8. $(1+x)^{1/2}\approx 1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}-\cdots$
Para $x=0{,}1$: $\sqrt{1{,}1}\approx 1+0{,}05-0{,}00125=1{,}04875$. Valor exato: $\approx 1{,}04881$.