Integração por partes
Teorema. Se $f$ e $g$ têm derivadas contínuas em $[a,b]$, então:
$$\int_a^b f(x)\,g'(x)\,dx = f(x)\,g(x)\bigg|_a^b - \int_a^b f'(x)\,g(x)\,dx.$$
Demonstração. $(fg)' = f'g + fg'$, logo $fg' = (fg)' - f'g$. Integrando:
$$\int_a^b fg' = \int_a^b(fg)' - \int_a^b f'g = fg\big|_a^b - \int_a^b f'g.\quad\blacksquare$$
Exemplo 5. $\int_0^1 x\,e^x\,dx$. $f=x$, $g'=e^x$, $f'=1$, $g=e^x$:
$$= xe^x\big|_0^1 - \int_0^1 e^x\,dx = e - (e-1) = 1.$$
Exemplo 6. $\int_1^e \ln x\,dx$. $f=\ln x$, $g'=1$, $f'=1/x$, $g=x$:
$$= x\ln x\big|_1^e-\int_1^e 1\,dx = e-e+1=1.$$