A função logarítmica
Definição (Rosenlicht). Para $x > 0$, define-se
$$\ln x = \int_1^x \frac{1}{t}\,dt.$$
Propriedades:
1. $\ln 1 = 0$.
2. $(\ln x)' = 1/x > 0$, logo $\ln$ é estritamente crescente.
3. $\ln(xy) = \ln x + \ln y$ (pela substituição $t \mapsto xt$ na integral).
Demonstração de (3). $\ln(xy) = \int_1^{xy}\frac{dt}{t}=\int_1^x\frac{dt}{t}+\int_x^{xy}\frac{dt}{t}$. Na segunda integral, $u = t/x$: $du = dt/x$, $t = xu$, limites $1 \to y$:
$$\int_x^{xy}\frac{dt}{t}=\int_1^y\frac{du}{u}=\ln y. \quad\blacksquare$$
Exemplo 7. $\ln 2 = \int_1^2\frac{dt}{t}\approx 0{,}6931$.