A função exponencial
Definição. Como $\ln:\,(0,\infty)\to\mathbb{R}$ é bijetiva (estritamente crescente, $\ln x\to+\infty$ e $\ln x\to-\infty$), definimos $\exp = \ln^{-1}$, ou seja, $e^y$ é o único $x > 0$ com $\ln x = y$.
Propriedades:
1. $e^0 = 1$ (pois $\ln 1 = 0$).
2. $e^{a+b} = e^a\,e^b$ (segue de $\ln(xy) = \ln x + \ln y$).
3. $(e^x)' = e^x$ (pela derivada da inversa: se $y = \ln x$, $x = e^y$, $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{1/x} = x = e^y$).
Definição de $e$. $e = \exp(1)$, ou seja, $\ln e = 1$, i.e., $\int_1^e\frac{dt}{t} = 1$.
Exemplo 8. $e^{\ln 2} = 2$, $\ln(e^3) = 3$.