Teorema do Valor Médio para Integrais
Teorema. Se $f$ é contínua em $[a,b]$, então existe $c\in[a,b]$ tal que
$$\int_a^b f(x)\,dx = f(c)(b-a).$$
Demonstração. Sejam $m=\min f$ e $M=\max f$ em $[a,b]$ (existem por Weierstrass). Então $m(b-a)\leq\int_a^b f\leq M(b-a)$. Logo:
$$m \leq \frac{1}{b-a}\int_a^b f \leq M.$$
Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe $c\in[a,b]$ com $f(c)=\frac{1}{b-a}\int_a^b f$. $\blacksquare$
Exemplo 9. $\int_0^1 x^2\,dx = 1/3$. O TVM para integrais dá $c^2 = 1/3$, $c = 1/\sqrt{3}\approx 0{,}577$.