Teorema Fundamental do Cálculo

O Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) é a ponte entre diferenciação e integração. Ele mostra que essas duas operações são, num sentido preciso, inversas uma da outra.

Primeira forma (TFC 1)

Teorema (TFC 1). Seja $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ integrável. Defina $F:[a,b]\to\mathbb{R}$ por

$$F(x) = \int_a^x f(t)\,dt.$$

Então $F$ é contínua em $[a,b]$. Além disso, se $f$ é contínua em $c\in(a,b)$, então $F$ é diferenciável em $c$ e $F'(c) = f(c)$.

Demonstração. Continuidade de $F$: Como $f$ é integrável (logo limitada), $|f|\leq M$. Para $x,y\in[a,b]$:

$$|F(x)-F(y)|=\left|\int_y^x f\right|\leq M|x-y|.$$

Logo $F$ é Lipschitz (e portanto contínua).

Diferenciabilidade: Se $f$ é contínua em $c$, dado $\varepsilon>0$, existe $\delta>0$ com $|f(t)-f(c)|<\varepsilon$ para $|t-c|<\delta$. Para $0<|h|<\delta$:

$$\frac{F(c+h)-F(c)}{h}-f(c)=\frac{1}{h}\int_c^{c+h}[f(t)-f(c)]\,dt.$$

Em valor absoluto: $\leq\frac{1}{|h|}\cdot\varepsilon\cdot|h|=\varepsilon$. Logo $F'(c)=f(c)$. $\blacksquare$

Exemplo 1. $F(x)=\int_0^x t^2\,dt=\frac{x^3}{3}$. $F'(x)=x^2$. ✓