Segunda forma (TFC 2)
Teorema (TFC 2). Seja $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ integrável e suponha que $G$ é uma primitiva (antiderivada) de $f$, i.e., $G$ é contínua em $[a,b]$, diferenciável em $(a,b)$, e $G'(x)=f(x)$ para $x\in(a,b)$. Então:
$$\int_a^b f(x)\,dx = G(b)-G(a).$$
Demonstração. Seja $P={x_0,\ldots,x_n}$ partição de $[a,b]$. Pelo TVM, em cada $[x_{i-1},x_i]$ existe $c_i$ com:
$$G(x_i)-G(x_{i-1})=G'(c_i)(x_i-x_{i-1})=f(c_i)(x_i-x_{i-1}).$$
Somando (telescópio):
$$G(b)-G(a)=\sum_{i=1}^n f(c_i)(x_i-x_{i-1}).$$
Como $m_i\leq f(c_i)\leq M_i$:
$$L(f,P)\leq G(b)-G(a)\leq U(f,P)$$
para toda partição. Logo $G(b)-G(a)=\int_a^b f$. $\blacksquare$