Teoremas do Valor Médio

Os teoremas do valor médio são os resultados mais poderosos da teoria da diferenciação. Eles conectam propriedades locais (derivada num ponto) a propriedades globais (comportamento num intervalo).

Teorema de Rolle

Teorema (Rolle). Seja $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ contínua em $[a,b]$, diferenciável em $(a,b)$, com $f(a)=f(b)$. Então existe $c \in (a,b)$ tal que $f'(c)=0$.

Demonstração. Como $f$ é contínua em $[a,b]$ (compacto), pelo teorema de Weierstrass, $f$ atinge máximo $M$ e mínimo $m$. Se $M = m$, então $f$ é constante e $f'(c)=0$ para todo $c$. Se $M > m$, como $f(a)=f(b)$, pelo menos um dos extremos é atingido num ponto interior $c \in (a,b)$.

Suponha que $f(c) = M$ (máximo). Então para $h$ pequeno: $f(c+h)\leq f(c)$, logo:

$$\frac{f(c+h)-f(c)}{h} \leq 0 \;\text{ se } h>0, \quad \frac{f(c+h)-f(c)}{h} \geq 0 \;\text{ se } h<0.$$

Como $f'(c)$ existe, os limites laterais são iguais, e o único valor compatível é $f'(c)=0$. $\blacksquare$

Exemplo 1. $f(x)=x^2-4x+3$ em $[1,3]$: $f(1)=0=f(3)$. $f'(x)=2x-4=0\implies x=2\in(1,3)$. ✓