Teorema do Valor Médio (TVM)
Teorema (Valor Médio). Seja $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ contínua em $[a,b]$ e diferenciável em $(a,b)$. Então existe $c \in (a,b)$ tal que
$$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$
Demonstração. Defina a função auxiliar:
$$g(x) = f(x) - f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a).$$
Então $g$ é contínua em $[a,b]$, diferenciável em $(a,b)$, e $g(a)=0=g(b)$. Pelo teorema de Rolle, existe $c\in(a,b)$ com $g'(c)=0$:
$$0 = g'(c) = f'(c) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \implies f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.\quad\blacksquare$$
Exemplo 2. $f(x) = x^3$ em $[0,2]$: $\frac{f(2)-f(0)}{2}=4$. $f'(c)=3c^2=4 \implies c=2/\sqrt{3}\approx 1{,}155\in(0,2)$. ✓