Monotonicidade
Corolário. Seja $f$ contínua em $[a,b]$, diferenciável em $(a,b)$.
- Se $f'(x) \geq 0$ para todo $x\in(a,b)$, então $f$ é crescente em $[a,b]$.
- Se $f'(x) > 0$ para todo $x\in(a,b)$, então $f$ é estritamente crescente.
- Se $f'(x) = 0$ para todo $x\in(a,b)$, então $f$ é constante.
Demonstração de (1). Sejam $x_1 < x_2$ em $[a,b]$. Pelo TVM, existe $c\in(x_1,x_2)$ com $f(x_2)-f(x_1)=f'(c)(x_2-x_1)$. Como $f'(c)\geq 0$ e $x_2-x_1>0$, temos $f(x_2)\geq f(x_1)$. $\blacksquare$
Exemplo 3. $f(x)=x^3$ tem $f'(x)=3x^2\geq 0$ e $f'(x)=0$ apenas em $x=0$, logo $f$ é estritamente crescente (a igualdade $f'=0$ num único ponto não impede).
Exemplo 4. $f(x) = x - \sin x$ tem $f'(x) = 1 - \cos x \geq 0$, logo $f$ é crescente, o que prova $\sin x \leq x$.