Teorema do Valor Médio de Cauchy
Teorema (Cauchy). Sejam $f,g:[a,b]\to\mathbb{R}$ contínuas em $[a,b]$, diferenciáveis em $(a,b)$, com $g'(x)\neq 0$ em $(a,b)$. Então existe $c\in(a,b)$ tal que
$$\frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.$$
Demonstração. Note que $g(b)\neq g(a)$ (senão Rolle daria $g'(c)=0$ para algum $c$, contradição). Defina:
$$h(x) = f(x) - f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}[g(x)-g(a)].$$
Então $h(a)=0=h(b)$. Por Rolle, existe $c$ com $h'(c)=0$:
$$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\,g'(c) \implies \frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.\quad\blacksquare$$