Regra de L'Hôpital
Teorema (L'Hôpital). Sejam $f,g$ diferenciáveis em $(a,b)$ com $g'(x)\neq 0$, e suponha que $\lim_{x\to a^+}f(x) = \lim_{x\to a^+}g(x) = 0$. Se $\lim_{x\to a^+}\frac{f'(x)}{g'(x)} = L$ (finito ou $\pm\infty$), então
$$\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)} = L.$$
Demonstração (caso $L$ finito). Estenda $f$ e $g$ por continuidade: $f(a)=g(a)=0$. Para $x\in(a,b)$, pelo TVM de Cauchy aplicado a $[a,x]$, existe $c_x\in(a,x)$ com:
$$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)} = \frac{f'(c_x)}{g'(c_x)}.$$
Como $x\to a^+$ implica $c_x \to a^+$ (pois $a < c_x < x$), temos $\frac{f'(c_x)}{g'(c_x)}\to L$. $\blacksquare$
Exemplo 5. $\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{1-\cos x}$: aplicando L'Hôpital duas vezes: $\frac{2x}{\sin x}\to\frac{2}{\cos 0}=2$. (Ou uma vez: $\frac{2x}{\sin x}$ e depois $\frac{2}{\cos x}\to 2$.)
Exemplo 6. $\lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^3}$: L'Hôpital três vezes: $\frac{1-\cos x}{3x^2}\to\frac{\sin x}{6x}\to\frac{\cos x}{6}=\frac{1}{6}$.