Teste da Raiz (Cauchy)
Teorema. Seja $\sum a_n$ uma série com $a_n \ge 0$.
- Se $\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} < 1$, a série converge.
- Se $\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} > 1$, a série diverge.
Demonstração. (1) Seja $\alpha = \limsup \sqrt[n]{a_n} < 1$. Escolha $r$ com $\alpha < r < 1$. Para $n$ suficientemente grande, $\sqrt[n]{a_n} \le r$, i.e., $a_n \le r^n$. Pelo teste da comparação com a série geométrica, $\sum a_n$ converge.
(2) Se $\limsup \sqrt[n]{a_n} > 1$, existem infinitos $n$ com $a_n > 1$, logo $a_n \not\to 0$. $\blacksquare$
Observação. O teste da raiz é pelo menos tão forte quanto o teste da razão: se $\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}=L$, então $\lim\sqrt[n]{a_n}=L$.
Exemplo 3. $\sum \left(\frac{n}{2n+1}\right)^n$: $\sqrt[n]{a_n} = \frac{n}{2n+1}\to\frac{1}{2}<1$. Converge.
Exemplo 4. $\sum \frac{1}{(\ln n)^n}$ para $n \ge 2$: $\sqrt[n]{a_n} = \frac{1}{\ln n}\to 0 < 1$. Converge.