Teste Integral
Teorema. Seja $f:[1,\infty)\to[0,\infty)$ contínua, decrescente. Então $\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$ converge se e somente se $\int_1^{\infty}f(x)\,dx$ converge.
Demonstração. Como $f$ é decrescente, para $n \le x \le n+1$ temos $f(n+1) \le f(x) \le f(n)$. Integrando:
$$
f(n+1) \le \int_n^{n+1}f(x)\,dx \le f(n).
$$
Somando de $n=1$ a $N$:
$$
\sum_{n=2}^{N+1}f(n) \le \int_1^{N+1}f(x)\,dx \le \sum_{n=1}^{N}f(n).
$$
Logo as somas parciais e as integrais parciais têm o mesmo comportamento (ambas finitas ou ambas infinitas). $\blacksquare$
Exemplo 5. Séries $p$: $\sum\frac{1}{n^p}$ converge $\iff$ $p > 1$. De fato, $\int_1^{\infty}\frac{dx}{x^p}$ converge sse $p>1$.
Exemplo 6. $\sum\frac{1}{n\ln n}$ ($n\ge 2$): $\int_2^{\infty}\frac{dx}{x\ln x}=\lim_{t\to\infty}\ln(\ln t)-\ln(\ln 2)=\infty$. Diverge.