Convergência Absoluta vs. Condicional
Definição. Uma série converge absolutamente se $\sum|a_n|<\infty$. Converge condicionalmente se converge mas não absolutamente.
Teorema (Rearranjo de Riemann). Se $\sum a_n$ converge condicionalmente, então para qualquer $L\in\mathbb{R}\cup{\pm\infty}$, existe uma permutação $\sigma:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ tal que $\sum a_{\sigma(n)}=L$.
Este resultado mostra a importância fundamental da convergência absoluta: séries absolutamente convergentes podem ser rearranjadas sem alterar a soma.
Exemplo 7. $\sum\frac{(-1)^{n+1}}{n}=\ln 2$ (condicional). Rearranjando: $1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{4}+\cdots=\frac{3}{2}\ln 2\neq\ln 2$.
Exemplo 8. $\sum\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}=\frac{\pi^2}{12}$ (absoluta). Qualquer rearranjo converge para $\frac{\pi^2}{12}$.