Teste da Comparação no Limite
Proposição. Sejam $a_n, b_n > 0$ com $\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = L$, $0 < L < \infty$. Então $\sum a_n$ converge $\iff$ $\sum b_n$ converge.
Demonstração. Existe $N$ tal que $\frac{L}{2} \le \frac{a_n}{b_n} \le 2L$ para $n\ge N$. Logo $\frac{L}{2}b_n \le a_n \le 2Lb_n$, e o resultado segue pelo teste da comparação. $\blacksquare$
Exemplo 9. $\sum\frac{1}{n^2+3n+1}$ converge, pois $\frac{1/(n^2+3n+1)}{1/n^2}\to 1$ e $\sum\frac{1}{n^2}$ converge.