Valor Absoluto e Desigualdades

Definição e Propriedades Básicas

Definição. Seja $a$ um elemento de um corpo ordenado. O valor absoluto de $a$ é:
$$|a| = \begin{cases} a, & \text{se } a \geq 0, \ -a, & \text{se } a < 0. \end{cases}$$

Portanto $|a| \geq 0$ para todo $a$, e $|a| = 0$ se e somente se $a = 0$.

Exemplo 1. $|5| = 5$, $|-3| = 3$, $|0| = 0$.

Proposição. Para quaisquer $a, b$:
1. $|a| = |-a|$.
2. $|ab| = |a| \cdot |b|$.
3. Se $b \neq 0$, $|a/b| = |a|/|b|$.
4. $-|a| \leq a \leq |a|$.

Demonstração de (2). Analisamos casos. Se $a \geq 0$ e $b \geq 0$, então $ab \geq 0$ e $|ab| = ab = |a||b|$. Se $a \geq 0$ e $b < 0$, então $ab \leq 0$ e $|ab| = -ab = a(-b) = |a||b|$. Os outros casos são análogos. $\square$

Exemplo 2. $|(-3)(4)| = |-12| = 12 = 3 \cdot 4 = |-3| \cdot |4|$.