A Desigualdade Triangular Reversa
Teorema (Desigualdade Triangular Reversa). Para quaisquer $a, b$:
$$\big||a| - |b|\big| \leq |a - b|.$$
Demonstração. Pela desigualdade triangular: $|a| = |(a - b) + b| \leq |a - b| + |b|$, logo $|a| - |b| \leq |a - b|$.
Trocando $a$ e $b$: $|b| - |a| \leq |b - a| = |a - b|$.
Portanto $-(|a - b|) \leq |a| - |b| \leq |a - b|$, o que equivale a $\big||a| - |b|\big| \leq |a - b|$. $\square$
Exemplo 7. $\big||7| - |3|\big| = |7 - 3| = 4$. E $|7 - 3| = 4$. Logo vale igualdade neste caso.
Exemplo 8. $\big||5| - |-3|\big| = |5 - 3| = 2$. E $|5 - (-3)| = |8| = 8 \geq 2$. ✓
Observação. A desigualdade triangular reversa é extremamente útil para obter limitantes inferiores de $|a - b|$, o que será essencial em demonstrações de limites.
Resumo da lição:
- $|a| \geq 0$, $|a| = 0 \iff a = 0$, $|ab| = |a||b|$.
- Desigualdade triangular: $|a + b| \leq |a| + |b|$.
- Desigualdade triangular reversa: $\big||a| - |b|\big| \leq |a - b|$.