A Desigualdade Triangular
Teorema (Desigualdade Triangular). Para quaisquer $a, b$ em um corpo ordenado:
$$|a + b| \leq |a| + |b|.$$
Demonstração. Sabemos que $-|a| \leq a \leq |a|$ e $-|b| \leq b \leq |b|$. Somando:
$$-(|a| + |b|) \leq a + b \leq |a| + |b|.$$
Pela caracterização, $|a + b| \leq |a| + |b|$. $\square$
Corolário (Forma Generalizada). Para quaisquer $a_1, \ldots, a_n$:
$$|a_1 + a_2 + \cdots + a_n| \leq |a_1| + |a_2| + \cdots + |a_n|.$$
Demonstração. Por indução, usando a desigualdade triangular no passo indutivo. $\square$
Exemplo 5. $|3 + (-5)| = |-2| = 2 \leq 3 + 5 = |3| + |-5| = 8$. ✓
Exemplo 6. $|(-2) + 7| = |5| = 5 \leq |-2| + |7| = 2 + 7 = 9$. ✓