Valor Intermediário e Conexidade

Teorema do Valor Intermediário

Teorema (Valor Intermediário). Se $f\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ é contínua e $c$ é um valor entre $f(a)$ e $f(b)$, então existe $x_0\in[a,b]$ com $f(x_0)=c$.

Demonstração. $[a,b]$ é conexo, logo $f([a,b])$ é conexo em $\mathbb{R}$, portanto é um intervalo. Como $f(a),f(b)\in f([a,b])$ e $c$ está entre eles, $c\in f([a,b])$. $\square$

Demonstração alternativa (bisseção). Suponha $f(a)c$ não ocorre numa vizinhança, contradizendo o supremo; se $f(x_0)>c$, por continuidade $f>c$ numa vizinhança, contradizendo a existência de pontos próximos com $f\le c$.) $\square$

Exemplo 4. $f(x)=x^3-x-1$ em $[1,2]$: $f(1)=-1<0$ e $f(2)=5>0$. Logo existe $x_0\in(1,2)$ com $f(x_0)=0$.

Exemplo 5. Todo polinômio de grau ímpar tem raiz real: $\lim_{x\to+\infty}P(x)=+\infty$ e $\lim_{x\to-\infty}P(x)=-\infty$ (ou vice-versa), logo pelo TVI existe raiz.

Exemplo 6. Se $f\colon[0,1]\to[0,1]$ é contínua, então $f$ tem ponto fixo: $g(x)=f(x)-x$ satisfaz $g(0)=f(0)\ge 0$ e $g(1)=f(1)-1\le 0$. Pelo TVI, existe $x_0$ com $g(x_0)=0$.