Segmentos de Reta e Conexidade por Caminhos
Definição. O segmento de reta ligando $x,y\in\mathbb{R}^n$ é $[x,y]={(1-t)x+ty : t\in[0,1]}$.
Definição. $S\subseteq E$ é conexo por caminhos (ou arco-conexo) se, para quaisquer $x,y\in S$, existe uma função contínua $\gamma\colon[0,1]\to S$ com $\gamma(0)=x$ e $\gamma(1)=y$.
Proposição. Todo conjunto conexo por caminhos é conexo.
Demonstração. Se $S=U\cup V$ é separação, sejam $x\in U$, $y\in V$ e $\gamma\colon[0,1]\to S$ caminho de $x$ a $y$. Então $[0,1] = \gamma^{-1}(U)\cup\gamma^{-1}(V)$ seria separação de $[0,1]$, contradição. $\square$
Exemplo 7. Todo subconjunto convexo de $\mathbb{R}^n$ é conexo por caminhos (use segmentos de reta).
Exemplo 8. $\mathbb{R}^n\setminus{0}$ é conexo por caminhos para $n\ge 2$.