Diâmetro, Distância a Conjuntos e Conjuntos Densos
Definição. O diâmetro de $S\subseteq E$ é $\text{diam}(S) = \sup{d(x,y):x,y\in S}$.
Definição. A distância de um ponto $x$ a um conjunto $S$ é $d(x,S)=\inf{d(x,s):s\in S}$.
Proposição. $d(\cdot,S)\colon E\to\mathbb{R}$ é (uniformemente) contínua: $|d(x,S)-d(y,S)|\le d(x,y)$.
Demonstração. Para todo $s\in S$: $d(x,S)\le d(x,s)\le d(x,y)+d(y,s)$. Tomando ínfimo em $s$: $d(x,S)\le d(x,y)+d(y,S)$. Por simetria, $|d(x,S)-d(y,S)|\le d(x,y)$. $\square$
Definição. $S\subseteq E$ é denso em $E$ se $\overline{S}=E$, ou equivalentemente, toda bola aberta de $E$ intersecta $S$.
Exemplo 9. $\mathbb{Q}$ é denso em $\mathbb{R}$. $\text{diam}(\mathbb{Q}\cap[0,1])=1$.
Exemplo 10. $d(2, [3,5]) = 1$. $d(0, {1/n:n\ge 1}) = 0$ (mas $0\notin S$).
Exemplo 11. Os polinômios com coeficientes racionais são densos no espaço das funções contínuas em $[0,1]$ (pelo teorema de Weierstrass de aproximação).
Transformações Lineares
Proposição. Toda transformação linear $T\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ é (uniformemente) contínua.
Demonstração. $T$ é Lipschitz: $|T(x)-T(y)| = |T(x-y)| \le |T|\,|x-y|$, onde $|T|=\sup_{|v|=1}|T(v)|<\infty$ (pois a esfera unitária é compacta e $v\mapsto|T(v)|$ é contínua). $\square$
Exemplo 12. $T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$, $T(x,y)=(2x+y, x-y)$ é contínua e uniformemente contínua.