Imagem e Pré-imagem de Subconjuntos
Definição. Seja $f: A \to B$.
- Para $S \subset A$, a imagem de $S$ por $f$ é $f(S) = {f(a) : a \in S}$.
- Para $T \subset B$, a pré-imagem (ou imagem inversa) de $T$ por $f$ é $f^{-1}(T) = {a \in A : f(a) \in T}$.
Atenção: a notação $f^{-1}(T)$ para pré-imagem não pressupõe que $f$ possua inversa!
Exemplo 3. Seja $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2$.
- $f([1, 3]) = [1, 9]$.
- $f([-2, 1]) = [0, 4]$ (note que $f(0) = 0$).
- $f^{-1}({4}) = {-2, 2}$.
- $f^{-1}([-1, 0]) = {0}$.
Proposição. Para $f: A \to B$ e $T_1, T_2 \subset B$:
$$f^{-1}(T_1 \cup T_2) = f^{-1}(T_1) \cup f^{-1}(T_2), \qquad f^{-1}(T_1 \cap T_2) = f^{-1}(T_1) \cap f^{-1}(T_2).$$
Demonstração (primeira igualdade). $x \in f^{-1}(T_1 \cup T_2)$ sse $f(x) \in T_1 \cup T_2$ sse $f(x) \in T_1$ ou $f(x) \in T_2$ sse $x \in f^{-1}(T_1)$ ou $x \in f^{-1}(T_2)$ sse $x \in f^{-1}(T_1) \cup f^{-1}(T_2)$. $\square$