Derivada de integral com limites variáveis
Corolário. Se $f$ é contínua e $g,h$ diferenciáveis, então:
$$\frac{d}{dx}\int_{g(x)}^{h(x)}f(t)\,dt = f(h(x))\,h'(x)-f(g(x))\,g'(x).$$
Demonstração. Seja $F(u)=\int_a^u f$. Então $\int_{g(x)}^{h(x)}f=F(h(x))-F(g(x))$. Pela regra da cadeia e TFC 1:
$$\frac{d}{dx}[F(h(x))-F(g(x))]=F'(h(x))h'(x)-F'(g(x))g'(x)=f(h(x))h'(x)-f(g(x))g'(x).\quad\blacksquare$$
Exemplo 7. $\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}e^{-t^2}dt = e^{-x^4}\cdot 2x$.